Упр.412 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Найдите углы треугольника ABC, если биссектриса угла В разбивает его на два равнобедренных треугольника.

Пусть $$BD$$ — биссектриса угла $$ABC$$. Тогда

$$\angle ABD=\angle CBD.$$

Рассмотрим два возможных случая.

1) $$AD=BD$$ и $$CD=BD$$.

Тогда $$\triangle ABD$$ и $$\triangle CBD$$ равнобедренные, значит

$$\angle BAD=\angle ABD,\qquad \angle BCD=\angle CBD.$$

Следовательно,

$$\angle BAD=\angle ABD=\angle CBD=\angle BCD.$$

Так как $$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC=2\angle ABD,$$ то

$$\angle B=2\angle BAD.$$

Кроме того, $$A,D,C$$ лежат на одной прямой, поэтому

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.$$

Пусть $$\angle A=\angle C=x$$. Тогда $$\angle B=2x$$, и

$$x+2x+x=180^\circ,$$

$$4x=180^\circ,$$

$$x=45^\circ.$$

Значит,

$$\angle A=45^\circ,\qquad \angle B=90^\circ,\qquad \angle C=45^\circ.$$

2) $$AB=BD$$ и $$CD=BD$$.

Тогда $$\triangle ABD$$ и $$\triangle CBD$$ равнобедренные, поэтому

$$\angle BAD=\angle BDA,\qquad \angle BCD=\angle CBD.$$

В треугольнике $$BCD$$ имеем

$$\angle BDC=180^\circ-2\angle BCD.$$

Так как точки $$A,D,C$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle BDA+\angle BDC=180^\circ.$$

Подставим:

$$\angle BAD+180^\circ-2\angle BCD=180^\circ,$$

откуда

$$\angle BAD=2\angle BCD.$$

Но $$\angle ABC=2\angle BCD$$, значит

$$\angle A=\angle B.$$

Пусть $$\angle B=y$$. Тогда $$\angle A=y$$, а поскольку $$\angle CBD=\angle BCD=\dfrac{y}{2},$$ то

$$\angle C=\frac{y}{2}.$$

Из суммы углов треугольника:

$$y+y+\frac{y}{2}=180^\circ,$$

$$\frac{5}{2}y=180^\circ,$$

$$y=72^\circ.$$

Тогда

$$\angle A=72^\circ,\qquad \angle B=72^\circ,\qquad \angle C=36^\circ.$$

Ответ

$$45^\circ,\ 45^\circ,\ 90^\circ$$ или $$72^\circ,\ 72^\circ,\ 36^\circ$$.