Упр.411 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Существует ли треугольник, в котором одна биссектриса делит пополам другую биссектрису?

Предположим, что в треугольнике $$ABC$$ биссектриса $$AE$$ делит пополам другую биссектрису $$CF$$ в точке $$O$$, то есть $$CO=OF$$.

Тогда в треугольнике $$FAC$$ отрезок $$AO$$ является биссектрисой угла $$\angle FAC$$ и одновременно медианой к стороне $$FC$$. Следовательно, $$\triangle FAC$$ равнобедренный, а значит, $$AO$$ — также высота:

$$AO \perp FC.$$

Так как точки $$C, O, F$$ лежат на одной прямой, то

$$AO \perp OC,$$

следовательно,

$$\angle AOC=90^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$AOC$$:

$$\angle OAC+\angle AOC+\angle OCA=180^\circ,$$

$$\angle OAC+90^\circ+\angle OCA=180^\circ,$$

откуда

$$\angle OAC+\angle OCA=90^\circ.$$

Но $$AE$$ и $$CF$$ — биссектрисы, значит,

$$\angle BAC=2\angle OAC,\qquad \angle BCA=2\angle OCA.$$

Тогда

$$\angle BAC+\angle BCA=2(\angle OAC+\angle OCA)=2\cdot 90^\circ=180^\circ.$$

С другой стороны, в треугольнике $$ABC$$

$$\angle BAC+\angle ABC+\angle BCA=180^\circ.$$

Подставляя найденное, получаем:

$$180^\circ+\angle ABC=180^\circ,$$

то есть

$$\angle ABC=0^\circ,$$

что невозможно для треугольника.

Ответ

Нет.