Упр.410 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Существует ли треугольник, две биссектрисы которого перпендикулярны?

Пусть в треугольнике $$ABC$$ биссектрисы $$AE$$ и $$CF$$ пересекаются под прямым углом, то есть $$\angle AOC=90^\circ$$, где $$O$$ — точка их пересечения.

Рассмотрим треугольник $$AOC$$. Тогда

$$\angle OAC+\angle AOC+\angle OCA=180^\circ,$$

$$\angle OAC+90^\circ+\angle OCA=180^\circ,$$

откуда

$$\angle OAC+\angle OCA=90^\circ.$$

Так как $$AE$$ и $$CF$$ — биссектрисы, то

$$\angle BAC=2\angle OAC,$$

$$\angle BCA=2\angle OCA.$$

Сложим эти углы:

$$\angle BAC+\angle BCA=2(\angle OAC+\angle OCA)=2\cdot 90^\circ=180^\circ.$$

Но в треугольнике $$ABC$$

$$\angle BAC+\angle ABC+\angle BCA=180^\circ.$$

Тогда

$$180^\circ+\angle ABC=180^\circ,$$

следовательно,

$$\angle ABC=0^\circ,$$

что невозможно для треугольника.

Значит, треугольника, две биссектрисы которого перпендикулярны, не существует.

Ответ

Нет.