Упр.41 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 41. Отрезок EF равен 12 см. Найдите на прямой EF все точки, сумма расстояний от каждой из которых до концов отрезка EF равна: 1) 12 см; 2) 15 см; 3) 10 см.

Пусть $$X$$ — любая точка на прямой $$EF$$. Тогда сумма расстояний от точки $$X$$ до концов отрезка зависит от положения точки на прямой.

1) Сумма равна $$12$$ см.

Если точка $$X$$ лежит на отрезке $$EF$$, то

$$EX+XF=EF=12.$$

Значит, подходят все точки отрезка $$EF$$.

2) Сумма равна $$15$$ см.

Если точка $$X$$ лежит вне отрезка $$EF$$, то одна из частей суммы равна длине всего отрезка плюс расстояние от конца отрезка до точки.

Пусть $$EX=1{,}5$$ см слева от точки $$E$$. Тогда

$$XE+XF=XE+(XE+EF)=1{,}5+1{,}5+12=15.$$

Аналогично, если $$Y$$ находится справа от точки $$F$$ и $$YF=1{,}5$$ см, то

$$YF+YE=YF+(YF+EF)=1{,}5+1{,}5+12=15.$$

Значит, подходят две точки: одна на продолжении $$EF$$ за точкой $$E$$ на расстоянии $$1{,}5$$ см, и одна на продолжении $$EF$$ за точкой $$F$$ на расстоянии $$1{,}5$$ см.

3) Сумма равна $$10$$ см.

Для любых точек на прямой $$EF$$ сумма расстояний до концов отрезка не может быть меньше длины отрезка:

$$EX+XF \ge EF = 12.$$

Так как $$10<12$$, таких точек не существует.

Ответ

1) Все точки отрезка $$EF$$.
2) Две точки: на продолжении $$EF$$ за точкой $$E$$ и за точкой $$F$$, каждая на расстоянии $$1{,}5$$ см от соответствующего конца.
3) Таких точек нет.