Упр.405 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Докажите, что в любом треугольнике существует угол: 1) не меньше 60°; 2) не больше 60°.

Подробный ответ

1) Докажем, что в любом треугольнике существует угол не меньше $$60^\circ$$.

Предположим противное: все три угла треугольника меньше $$60^\circ$$. Тогда

$$\angle A<60^\circ,\quad \angle B<60^\circ,\quad \angle C<60^\circ.$$

Сложим эти неравенства:

$$\angle A+\angle B+\angle C<60^\circ+60^\circ+60^\circ=180^\circ.$$

Но сумма углов любого треугольника равна $$180^\circ$$. Получили противоречие. Значит, в треугольнике существует угол, который не меньше $$60^\circ$$.

2) Докажем, что в любом треугольнике существует угол не больше $$60^\circ$$.

Предположим противное: все три угла треугольника больше $$60^\circ$$. Тогда

$$\angle A>60^\circ,\quad \angle B>60^\circ,\quad \angle C>60^\circ.$$

Сложим эти неравенства:

$$\angle A+\angle B+\angle C>60^\circ+60^\circ+60^\circ=180^\circ.$$

Это невозможно, так как сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$. Следовательно, в треугольнике существует угол, который не больше $$60^\circ$$.