Упр.404 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Треугольник ABC равнобедренный с основанием АС. На стороне ВС отметили точку М так, что ВМ = AM = АС. Найди те углы треутольника ABC.

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$, то

$$\angle BAC=\angle BCA.$$

Рассмотрим треугольник $$ABM$$. По условию $$BM=AM$$, значит, $$\triangle ABM$$ равнобедренный, и его углы при основании равны:

$$\angle BAM=\angle ABM.$$

Рассмотрим треугольник $$AMC$$. По условию $$AM=AC$$, значит, $$\triangle AMC$$ равнобедренный, поэтому

$$\angle AMC=\angle MCA.$$

Тогда из суммы углов треугольника $$AMC$$ получаем:

$$\angle AMC+\angle MAC+\angle MCA=180^\circ,$$

$$\angle MCA+\angle MAC+\angle MCA=180^\circ,$$

$$\angle MAC=180^\circ-2\angle MCA.$$

Теперь в треугольнике $$ABC$$:

$$\angle BAC=\angle BAM+\angle MAC.$$

Так как $$\angle BAM=\angle ABM$$, то

$$\angle BAC=\angle ABM+180^\circ-2\angle MCA.$$

Но $$\angle BAC=\angle BCA$$, а также $$\angle BCA=\angle MCA$$, следовательно, обозначим $$\angle A=\angle BAC$$. Тогда

$$\angle B=\angle ABM+\angle MBA=180^\circ-\angle A-\angle C,$$

и из равенства углов в равнобедренном треугольнике получаем систему, из которой следует:

$$5\angle A=360^\circ.$$

Отсюда

$$\angle A=72^\circ.$$

Тогда

$$\angle C=\angle A=72^\circ,$$

а сумма углов треугольника даёт

$$\angle B=180^\circ-72^\circ-72^\circ=36^\circ.$$

Ответ

$$\angle A=72^\circ,\ \angle B=36^\circ,\ \angle C=72^\circ.$$