Упр.403 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Угол при основании АС равнобедренного треугольника ABC в 2 раза больше угла при вершине, AM — биссектриса треугольника. Докажите, что ВМ = АС.

Обозначим $$\angle ABC=x$$. Тогда, так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$, имеем

$$\angle BCA=\angle BAC=2x.$$

Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$, значит

$$x+2x+2x=180^\circ,$$

откуда

$$5x=180^\circ,\qquad x=36^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle ABC=36^\circ,\qquad \angle BAC=72^\circ.$$

Так как $$AM$$ — биссектриса угла $$\angle BAC$$, то

$$\angle BAM=\angle MAC=\frac{1}{2}\angle BAC=36^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$AMC$$. В нём

$$\angle MAC=36^\circ,\qquad \angle MCA=\angle BCA=72^\circ.$$

Тогда

$$\angle AMC=180^\circ-36^\circ-72^\circ=72^\circ.$$

Получаем, что $$\angle AMC=\angle MCA$$, значит, $$\triangle AMC$$ равнобедренный, и потому

$$AC=AM.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABM$$. В нём

$$\angle BAM=36^\circ,\qquad \angle ABM=\angle ABC=36^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle ABM$$ равнобедренный, поэтому

$$AB=AM.$$

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то

$$AB=BC.$$

Из равенств $$AB=AM$$ и $$AB=BC$$ получаем

$$AM=BC.$$

Но из пункта выше уже известно, что $$AM=AC$$, значит

$$BC=AC.$$

Следовательно,

$$BM=AC.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$BM=AC.$$