Упр.400 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: В треугольнике ABC биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Найдите угол АОС, если угол В = 100°.

В треугольнике $$ABC$$ сумма углов равна $$180^\circ$$, значит

$$\angle BAC+\angle ABC+\angle BCA=180^\circ.$$

Так как $$\angle B=100^\circ$$, получаем

$$\angle BAC+\angle BCA=180^\circ-100^\circ=80^\circ.$$

Биссектрисы углов $$A$$ и $$C$$ пересекаются в точке $$O$$, поэтому

$$\angle OAC=\frac{1}{2}\angle BAC,\qquad \angle OCA=\frac{1}{2}\angle BCA.$$

Рассмотрим треугольник $$AOC$$:

$$\angle AOC+\angle OAC+\angle OCA=180^\circ.$$

Подставим выражения для половин углов:

$$\angle AOC+\frac{1}{2}\angle BAC+\frac{1}{2}\angle BCA=180^\circ.$$

Тогда

$$\angle AOC+\frac{1}{2}\left(\angle BAC+\angle BCA\right)=180^\circ,$$

$$\angle AOC+\frac{1}{2}\cdot 80^\circ=180^\circ,$$

$$\angle AOC+40^\circ=180^\circ,$$

$$\angle AOC=140^\circ.$$

Ответ

$$140^\circ$$