Упр.396 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

На стороне $$AB$$ треугольника $$ABC$$ отметили точку $$D$$ так, что $$BD=BC$$, $$\angle ACD=15^\circ$$, $$\angle DCB=40^\circ$$. Найдите углы треугольника $$ABC$$.

Рассмотрим треугольник $$DBC$$. Так как $$BD=BC$$, то он равнобедренный, значит, его углы при основании равны:

$$\angle BDC=\angle DCB=40^\circ.$$

Тогда найдём угол $$DBC$$:

$$\angle BDC+\angle DBC+\angle DCB=180^\circ,$$

$$40^\circ+\angle DBC+40^\circ=180^\circ,$$

$$\angle DBC=100^\circ.$$

Теперь найдём угол $$ADC$$. Углы $$ADC$$ и $$BDC$$ смежные, поэтому

$$\angle ADC+\angle BDC=180^\circ,$$

$$\angle ADC+40^\circ=180^\circ,$$

$$\angle ADC=140^\circ.$$

В треугольнике $$ADC$$:

$$\angle CAD+\angle ADC+\angle ACD=180^\circ,$$

$$\angle CAD+140^\circ+15^\circ=180^\circ,$$

$$\angle CAD=25^\circ.$$

Так как точка $$D$$ лежит на стороне $$AB$$, то луч $$AD$$ совпадает с лучом $$AB$$, следовательно, $$\angle A=\angle CAD=25^\circ.$$

Угол $$C$$ треугольника $$ABC$$ равен сумме углов $$ACD$$ и $$DCB$$:

$$\angle C=\angle ACD+\angle DCB=15^\circ+40^\circ=55^\circ.$$

Тогда третий угол треугольника:

$$\angle B=180^\circ-\angle A-\angle C=180^\circ-25^\circ-55^\circ=100^\circ.$$

Ответ

$$\angle A=25^\circ,\ \angle B=100^\circ,\ \angle C=55^\circ.$$