Упр.395 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Отрезок ВК — биссектриса равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС, угол AKB = 105°. Найдите углы треугольника АВС.

Подробный ответ

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$BC$$, то его углы при основании равны:

$$\angle ABC=\angle ACB.$$

Поскольку $$BK$$ — биссектриса угла $$\angle ABC$$, получаем:

$$\angle ABK=\angle KBC.$$

Рассмотрим треугольник $$AKB$$. Угол $$\angle AKB$$ дан и равен $$105^\circ$$, значит смежный с ним угол $$\angle CKB$$ равен:

$$\angle CKB=180^\circ-105^\circ=75^\circ.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$CBK$$:

$$\angle CBK+\angle CKB+\angle BCK=180^\circ.$$

Так как $$BK$$ — биссектриса, то $$\angle CBK=\frac{1}{2}\angle ABC$$, а в равнобедренном треугольнике $$\angle BCK=\angle ACB$$. Обозначим $$\angle CBK=x$$. Тогда $$\angle ACB=2x$$, и из суммы углов треугольника $$CBK$$ получаем:

$$x+75^\circ+2x=180^\circ,$$

$$3x=105^\circ,$$

$$x=35^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle ABC=2\angle CBK=70^\circ,$$

$$\angle ACB=70^\circ.$$

Теперь найдём угол $$A$$ в треугольнике $$ABC$$:

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$

$$\angle A+70^\circ+70^\circ=180^\circ,$$

$$\angle A=40^\circ.$$