Упр.393 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Биссектрисы углов при основании АС равнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке О. Докажите, что угол АОС равен внешнему углу треугольника ABC при вершине А.

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$, то его углы при основании равны:

$$\angle BAC=\angle BCA.$$

Поскольку $$AO$$ и $$CO$$ — биссектрисы углов $$\angle BAC$$ и $$\angle BCA$$, получаем:

$$\angle OAC=\frac{1}{2}\angle BAC,\qquad \angle OCA=\frac{1}{2}\angle BCA.$$

Но $$\angle BAC=\angle BCA$$, значит

$$\angle OAC=\angle OCA.$$

Тогда в треугольнике $$AOC$$:

$$\angle OAC+\angle AOC+\angle OCA=180^\circ,$$

откуда

$$\angle AOC=180^\circ-2\angle OAC.$$

Так как $$\angle OAC=\frac{1}{2}\angle BAC$$, то

$$\angle AOC=180^\circ-\angle BAC.$$

С другой стороны, внешний угол $$\angle DAB$$ треугольника $$ABC$$ смежен с углом $$\angle BAC$$, значит

$$\angle DAB+\angle BAC=180^\circ,$$

следовательно,

$$\angle DAB=180^\circ-\angle BAC.$$

Итак,

$$\angle AOC=\angle DAB,$$

что и требовалось доказать.