Упр.388 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его внешних углов равен: 1) 54°; 2) 112°. Сколько решений имеет задача?

Обозначим углы равнобедренного треугольника так: $$\angle a=\angle b$$, а третий угол — $$\angle c$$.

Внешний угол смежен с внутренним, значит их сумма равна $$180^\circ$$.

1) Если внешний угол равен $$54^\circ$$

Если этот угол прилежит к углу при основании, то

$$\angle a+54^\circ=180^\circ,$$

откуда

$$\angle a=126^\circ.$$

Тогда

$$\angle a+\angle b+\angle c=180^\circ,$$

$$126^\circ+126^\circ+\angle c=180^\circ,$$

$$\angle c=-72^\circ,$$

что невозможно. Значит, этот случай не подходит.

Если же внешний угол прилежит к вершине, то

$$\angle c+54^\circ=180^\circ,$$

$$\angle c=126^\circ.$$

Тогда

$$\angle a+\angle b+\angle c=180^\circ,$$

$$\angle a+\angle a+126^\circ=180^\circ,$$

$$2\angle a=54^\circ,$$

$$\angle a=27^\circ.$$

Следовательно, углы треугольника:

$$27^\circ,\ 27^\circ,\ 126^\circ.$$

2) Если внешний угол равен $$112^\circ$$

Если этот угол прилежит к углу при основании, то

$$\angle a+112^\circ=180^\circ,$$

$$\angle a=68^\circ.$$

Тогда

$$\angle a+\angle b+\angle c=180^\circ,$$

$$68^\circ+68^\circ+\angle c=180^\circ,$$

$$\angle c=44^\circ.$$

Получаем углы треугольника:

$$68^\circ,\ 68^\circ,\ 44^\circ.$$

Если внешний угол прилежит к вершине, то

$$\angle c+112^\circ=180^\circ,$$

$$\angle c=68^\circ.$$

Тогда

$$\angle a+\angle a+68^\circ=180^\circ,$$

$$2\angle a=112^\circ,$$

$$\angle a=56^\circ.$$

Следовательно, углы треугольника:

$$56^\circ,\ 56^\circ,\ 68^\circ.$$

В каждом случае возможны два варианта расположения внешнего угла, поэтому задача имеет по два решения.

Ответ

1) $$27^\circ,\ 27^\circ,\ 126^\circ$$; решений $$2$$.
2) $$68^\circ,\ 68^\circ,\ 44^\circ$$ или $$56^\circ,\ 56^\circ,\ 68^\circ$$; решений $$2$$.