Упр.372 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: В равнобедренном треугольнике ABC с углом при вершине В, равным 36°, провели биссектрису AD. Докажите, что треугольники ADB и CAD равнобедренные.

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то $$\angle A=\angle C$$. По условию $$\angle B=36^\circ$$, значит

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$

$$\angle A+36^\circ+\angle A=180^\circ,$$

$$2\angle A=144^\circ,$$

откуда $$\angle A=\angle C=72^\circ$$.

Поскольку $$AD$$ — биссектриса угла $$\angle BAC$$, имеем

$$\angle BAD=\angle CAD=\frac{1}{2}\angle A=36^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$ABD$$. В нём

$$\angle BAD=36^\circ,$$

а так как $$D\in BC$$, то $$\angle ABD=\angle ABC=36^\circ.$$

Следовательно, $$\angle BAD=\angle ABD$$, значит, $$\triangle ADB$$ равнобедренный.

Теперь рассмотрим треугольник $$CAD$$. В нём

$$\angle CAD=36^\circ,$$

а угол при вершине $$C$$ равен $$\angle DCA=\angle ACB=72^\circ.$$

Тогда

$$\angle CAD+\angle ADC+\angle DCA=180^\circ,$$

$$36^\circ+\angle ADC+72^\circ=180^\circ,$$

$$\angle ADC=72^\circ.$$

Получаем $$\angle ADC=\angle DCA$$, значит, $$\triangle CAD$$ равнобедренный.

Ответ

$$\triangle ADB$$ и $$\triangle CAD$$ равнобедренные.