Упр.367 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

1. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них равен: 1) $$42^\circ$$; 2) $$94^\circ$$. Сколько решений имеет задача?

В равнобедренном треугольнике возможны два случая: данный угол может быть углом при основании или углом при вершине.

1) Один из углов равен $$42^\circ$$.

Если $$42^\circ$$ — угол при основании, то второй угол при основании тоже равен $$42^\circ$$. Тогда третий угол:

$$42^\circ+42^\circ+\angle C=180^\circ$$
$$\angle C=180^\circ-84^\circ=96^\circ$$

Получаем треугольник с углами $$42^\circ, 42^\circ, 96^\circ$$.

Если $$42^\circ$$ — угол при вершине, то два угла при основании равны:

$$\angle A=\angle B$$
$$\angle A+\angle B+42^\circ=180^\circ$$
$$2\angle A=138^\circ$$
$$\angle A=69^\circ$$

Тогда углы треугольника: $$69^\circ, 69^\circ, 42^\circ$$.

2) Один из углов равен $$94^\circ$$.

Если $$94^\circ$$ — угол при основании, то второй угол при основании тоже равен $$94^\circ$$. Но тогда:

$$94^\circ+94^\circ+\angle C=180^\circ$$
$$\angle C=-8^\circ$$

Такого треугольника не существует.

Если $$94^\circ$$ — угол при вершине, то два угла при основании равны:

$$\angle A=\angle B$$
$$\angle A+\angle B+94^\circ=180^\circ$$
$$2\angle A=86^\circ$$
$$\angle A=43^\circ$$

Значит, углы треугольника: $$43^\circ, 43^\circ, 94^\circ$$.

Итак, в первом случае задача имеет два решения, во втором — одно решение.

Ответ

1) $$42^\circ, 42^\circ, 96^\circ$$ или $$69^\circ, 69^\circ, 42^\circ$$; решений — 2.
2) $$43^\circ, 43^\circ, 94^\circ$$; решений — 1.