Упр.367 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них равен: 1) 42°; 2) 94°. Сколько решений имеет задача?
В равнобедренном треугольнике возможны два случая: данный угол может быть углом при основании или углом при вершине.
1) Один из углов равен $$42^\circ$$.
Если $$42^\circ$$ — угол при основании, то второй угол при основании тоже равен $$42^\circ$$. Тогда третий угол:
$$ 42^\circ+42^\circ+\angle C=180^\circ $$
$$ \angle C=180^\circ-84^\circ=96^\circ $$
Получаем треугольник с углами $$42^\circ, 42^\circ, 96^\circ$$.
Если $$42^\circ$$ — угол при вершине, то два угла при основании равны:
$$ \angle A=\angle B $$
$$ \angle A+\angle B+42^\circ=180^\circ $$
$$ 2\angle A=138^\circ $$
$$ \angle A=69^\circ $$
Тогда углы треугольника: $$69^\circ, 69^\circ, 42^\circ$$.
2) Один из углов равен $$94^\circ$$.
Если $$94^\circ$$ — угол при основании, то второй угол при основании тоже равен $$94^\circ$$. Но тогда:
$$ 94^\circ+94^\circ+\angle C=180^\circ $$
$$ \angle C=-8^\circ $$
Такого треугольника не существует.
Если $$94^\circ$$ — угол при вершине, то два угла при основании равны:
$$ \angle A=\angle B $$
$$ \angle A+\angle B+94^\circ=180^\circ $$
$$ 2\angle A=86^\circ $$
$$ \angle A=43^\circ $$
Значит, углы треугольника: $$43^\circ, 43^\circ, 94^\circ$$.
Итак, в первом случае задача имеет два решения, во втором — одно решение.
Ответ
1) $$42^\circ, 42^\circ, 96^\circ$$ или $$69^\circ, 69^\circ, 42^\circ$$; решений — 2.
2) $$43^\circ, 43^\circ, 94^\circ$$; решений — 1.
