Упр.354 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Отрезки АС и BD пересекаются в точке О, АВ = ВС = CD = AD. Докажите, что AC перпендикулярна BD.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ADC$$. У них:

$$AB=AD,$$
$$BC=CD,$$
$$AC$$ — общая сторона.

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle ADC$$ по трём сторонам. Тогда

$$\angle BAC=\angle DAC.$$

Значит, прямая $$AC$$ делит угол $$\angle BAD$$ пополам.

Теперь рассмотрим треугольник $$ABD$$. Так как $$AB=AD,$$ то он равнобедренный с основанием $$BD$$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также высотой. Поэтому

$$AC\perp BD.$$