Упр.352 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Биссектрисы углов ВАС и ВСА треугольника ABC пересекаются в точке О. Через эту точку проведены прямые, параллельные прямым АВ и ВС и пересекающие сторону АС в точках М и К соответственно. Докажите, что периметр треутольника МОК равен длине стороны АС.

1) Так как $$MO \parallel AB$$, а прямая $$AO$$ является секущей, то

$$\angle BAO=\angle MOA.$$

Следовательно, в треугольнике $$AMO$$ два угла равны, значит, он равнобедренный:

$$AM=MO.$$

2) Так как $$KO \parallel BC$$, а прямая $$CO$$ является секущей, то

$$\angle BCO=\angle KOC.$$

Следовательно, в треугольнике $$CKO$$ два угла равны, значит, он равнобедренный:

$$CK=KO.$$

3) Найдём периметр треугольника $$MOK$$:

$$P_{MOK}=MO+OK+MK.$$

Подставим равные отрезки $$MO=AM$$ и $$OK=CK$$:

$$P_{MOK}=AM+MK+CK.$$

Но точки $$A, M, K, C$$ лежат на одной прямой, поэтому

$$AM+MK+CK=AC.$$

Значит,

$$P_{MOK}=AC.$$

Ответ

$$P_{MOK}=AC$$