Упр.351 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Через точку О пересечения биссектрис АЕ и CF треугольника ABC провели прямую, параллельную прямой АС. Эта прямая пересекает сторону А В в точке М, а сторону ВС — в точке К. Докажите, что МК = AM + СК.

Так как $$MK \parallel AC,$$ то при секущей $$AE$$ получаем равные углы:

$$\angle CAO=\angle MOA.$$

Аналогично, при секущей $$CF$$ имеем:

$$\angle ACO=\angle KOC.$$

Рассмотрим треугольник $$AMO$$. Поскольку $$AE$$ — биссектриса угла $$BAC,$$ то

$$\angle CAO=\angle MAO.$$

Следовательно,

$$\angle MOA=\angle MAO,$$

значит, треугольник $$AMO$$ равнобедренный, и потому

$$AM=MO.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$CKO$$. Так как $$CF$$ — биссектриса угла $$BCA,$$ то

$$\angle ACO=\angle KCO.$$

Отсюда

$$\angle KOC=\angle KCO,$$

значит, треугольник $$CKO$$ равнобедренный, и потому

$$CK=KO.$$

Тогда

$$MK=MO+OK=AM+CK.$$

Что и требовалось доказать.