Упр.351 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

1. Через точку $$О$$ пересечения биссектрис $$АЕ$$ и $$CF$$ треугольника $$ABC$$ провели прямую, параллельную прямой $$АС$$. Эта прямая пересекает сторону $$АВ$$ в точке $$М$$, а сторону $$ВС$$ — в точке $$К$$. Докажите, что $$МК = АМ + СК$$.

Так как $$MK \parallel AC,$$ то при секущей $$AE$$ получаем равные углы:

$$\angle CAO=\angle MOA.$$

Аналогично, при секущей $$CF$$ имеем:

$$\angle ACO=\angle KOC.$$

Рассмотрим треугольник $$AMO$$. Поскольку $$AE$$ — биссектриса угла $$BAC,$$ то

$$\angle CAO=\angle MAO.$$

Следовательно,

$$\angle MOA=\angle MAO,$$

значит, треугольник $$AMO$$ равнобедренный, и потому

$$AM=MO.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$CKO$$. Так как $$CF$$ — биссектриса угла $$BCA,$$ то

$$\angle ACO=\angle KCO.$$

Отсюда

$$\angle KOC=\angle KCO,$$

значит, треугольник $$CKO$$ равнобедренный, и потому

$$CK=KO.$$

Тогда

$$MK=MO+OK=AM+CK.$$

Что и требовалось доказать.