Упр.350 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Через вершину $$B$$ треугольника $$ABC$$ провели прямую, параллельную его биссектрисе $$AM$$. Эта прямая пересекает прямую $$AC$$ в точке $$K$$. Докажите, что треугольник $$ABK$$ равнобедренный.

Так как $$BK \parallel AM$$, то при секущей $$AB$$ получаем равенство накрест лежащих углов:

$$\angle KBA=\angle MAB.$$

Поскольку $$AM$$ — биссектриса угла $$BAC$$, имеем:

$$\angle MAB=\angle CAM.$$

Тогда

$$\angle KBA=\angle CAM.$$

Но точки $$A, C, K$$ лежат на одной прямой, значит угол $$\angle CAM$$ является углом между прямыми $$CA$$ и $$AM$$, а при $$BK \parallel AM$$ он равен углу между $$CA$$ и $$BK$$. Следовательно, в треугольнике $$BAK$$ углы при вершинах $$B$$ и $$A$$ равны:

$$\angle KBA=\angle BAK.$$

Значит, треугольник $$BAK$$ равнобедренный, и его боковые стороны равны:

$$BA=AK.$$

Ответ

$$BA=AK$$, следовательно, $$\triangle BAK$$ равнобедренный.