Упр.347 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Треугольник ABC — равнобедренный с основанием АС. Через произвольную точку М его биссектрисы BD проведены прямые, параллельные его сторонам АВ и ВС и пересекающие отрезок АС в точках Е и F соответственно. Докажите, что DE = DF.

Подробный ответ

1) Так как $$ME \parallel AB$$, то при секущей $$AD$$ получаем равенство соответствующих углов:

$$\angle BAD=\angle MED.$$

2) Так как $$MF \parallel BC$$, то при секущей $$CD$$ имеем:

$$\angle BCD=\angle MFD.$$

3) Треугольник $$ABC$$ равнобедренный, значит, $$\angle BAC=\angle BCA$$. Поскольку $$BD$$ — биссектриса угла $$ABC$$, в равнобедренном треугольнике она является также высотой и медианой, то есть

$$BD\perp AC.$$

Следовательно, точка $$D$$ — середина основания $$AC$$.

4) Рассмотрим треугольник $$EMF$$. Из пунктов 1 и 2 получаем:

$$\angle MEF=\angle BAD=\angle BCD=\angle MFE.$$

Значит, треугольник $$EMF$$ равнобедренный, поэтому

$$EM=MF.$$

Так как $$MD$$ — высота и медиана треугольника $$EMF$$, то точка $$D$$ — середина отрезка $$EF$$. Следовательно,

$$DE=DF.$$

Что и требовалось доказать.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке