Упр.347 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

1. Треугольник $$ABC$$ — равнобедренный с основанием $$AC$$. Через произвольную точку $$M$$ его биссектрисы $$BD$$ проведены прямые, параллельные его сторонам $$AB$$ и $$BC$$ и пересекающие отрезок $$AC$$ в точках $$E$$ и $$F$$ соответственно. Докажите, что $$DE=DF$$.

1) Так как $$ME \parallel AB$$, то при секущей $$AD$$ получаем равенство соответствующих углов:

$$\angle BAD=\angle MED.$$

2) Так как $$MF \parallel BC$$, то при секущей $$CD$$ имеем:

$$\angle BCD=\angle MFD.$$

3) Треугольник $$ABC$$ равнобедренный, значит, $$\angle BAC=\angle BCA$$. Поскольку $$BD$$ — биссектриса угла $$ABC$$, в равнобедренном треугольнике она является также высотой и медианой, то есть

$$BD\perp AC.$$

Следовательно, точка $$D$$ — середина основания $$AC$$.

4) Рассмотрим треугольник $$EMF$$. Из пунктов 1 и 2 получаем:

$$\angle MEF=\angle BAD=\angle BCD=\angle MFE.$$

Значит, треугольник $$EMF$$ равнобедренный, поэтому

$$EM=MF.$$

Так как $$MD$$ — высота и медиана треугольника $$EMF$$, то точка $$D$$ — середина отрезка $$EF$$. Следовательно,

$$DE=DF.$$

Что и требовалось доказать.