Упр.346 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: На рисунке 240 АВ = АС, AF = FЕ, АВ||EF. Докажите, что АЕ перпендикулярна ВС.

1) Так как $$AB \parallel EF$$, а прямая $$AE$$ является секущей, то

$$\angle BAE=\angle FEA.$$

2) По условию $$AF=FE$$, значит, треугольник $$AFE$$ равнобедренный. Тогда его углы при основании равны:

$$\angle EAF=\angle AEF.$$

3) Из равенства $$AB=AC$$ следует, что треугольник $$ABC$$ равнобедренный, поэтому

$$\angle ABC=\angle BCA.$$

Так как точки $$F$$ и $$C$$ лежат на одной прямой с точкой $$A$$, а $$EF \parallel AB$$, то получаем равенство соответствующих углов, и прямая $$AE$$ делит угол $$\angle BAC$$ пополам. Следовательно, в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ биссектриса из вершины $$A$$ является также высотой.

Значит,

$$AE \perp BC.$$

Что и требовалось доказать.