Упр.342 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Прямая, проведённая через вершину A треугольника ABC параллельно его противолежащей стороне, образует со стороной АС утол, равный углу ВАС. Докажите, что данный треугольник равнобедренный.

1) Так как $$AD \parallel BC$$, а прямая $$AB$$ — секущая, то сумма внутренних односторонних углов равна $$180^\circ$$:

$$\angle CBA+\angle DAB=180^\circ.$$

По условию $$\angle DAC=\angle BAC$$, значит

$$\angle DAB=\angle DAC+\angle CAB=2\angle CAB.$$

Тогда

$$\angle ABC+2\angle CAB=180^\circ,$$

откуда

$$\angle ABC=180^\circ-2\angle CAB.$$

2) Рассмотрим треугольник $$ABC$$. По сумме его углов:

$$\angle ABC+\angle ACB+\angle CAB=180^\circ.$$

Подставим найденное значение $$\angle ABC$$:

$$180^\circ-2\angle CAB+\angle ACB+\angle CAB=180^\circ,$$

$$\angle ACB-\angle CAB=0,$$

$$\angle ACB=\angle CAB.$$

Следовательно, в треугольнике $$ABC$$ равны углы при вершинах $$B$$ и $$C$$, значит, он равнобедренный.

Ответ

$$\triangle ABC$$ равнобедренный.