Упр.324 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Равнобедренные треугольники АВС и ADC имеют общее основание АС. Прямая BD пересекает отрезок АС в точке Е. Докажите, что АЕ = ЕС.

1) Треугольник $$ABC$$ равнобедренный, значит $$AB=BC$$ и $$\angle BAC=\angle BCA$$.

2) Треугольник $$ADC$$ равнобедренный, значит $$AD=DC$$ и $$\angle DAC=\angle DCA$$.

3) Рассмотрим треугольники $$DAB$$ и $$DCB$$. Тогда

$$ \angle DAB=\angle DAC+\angle BAC $$
и
$$ \angle DCB=\angle DCA+\angle BCA. $$

Так как $$\angle DAC=\angle DCA$$ и $$\angle BAC=\angle BCA$$, то $$\angle DAB=\angle DCB$$.

Кроме того, $$AD=DC$$ и $$AB=BC$$. Следовательно, $$\triangle DAB \cong \triangle DCB$$ по первому признаку равенства треугольников.

Отсюда $$\angle ABD=\angle CBD$$.

4) Рассмотрим треугольники $$ABE$$ и $$CBE$$. Так как точки $$B, E, D$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle ABE=\angle ABD,\qquad \angle EBC=\angle CBD.$$

Значит, $$\angle ABE=\angle EBC$$.

Кроме того, $$AB=BC$$ и $$BE$$ — общая сторона. Следовательно, $$\triangle ABE \cong \triangle CBE$$ по первому признаку равенства треугольников.

Отсюда $$AE=EC$$.

Ответ

$$AE=EC$$.