Упр.323 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: На рисунке 223 АВ = ВС, угол ABK = углу CBM. Докажите, что ВМ = ВК.

Треугольник $$ABC$$ равнобедренный, так как $$AB=BC$$. Значит, его углы при основании равны:

$$\angle BAC=\angle BCA.$$

Рассмотрим треугольники $$ABK$$ и $$CBM$$.

По условию $$\angle ABK=\angle CBM$$.

Кроме того, точки $$A, M, K, C$$ лежат на одной прямой, поэтому лучи $$AK$$ и $$CM$$ совпадают с прямой $$AC$$. Тогда

$$\angle BAK=\angle BAC,\qquad \angle BCM=\angle BCA.$$

Из равенства углов $$\angle BAC=\angle BCA$$ получаем:

$$\angle BAK=\angle BCM.$$

Итак, в треугольниках $$ABK$$ и $$CBM$$ равны две пары углов и одна сторона:

$$AB=BC,$$

$$\angle ABK=\angle CBM,$$

$$\angle BAK=\angle BCM.$$

Следовательно, $$\triangle ABK \cong \triangle CBM$$ по второму признаку равенства треугольников. Тогда соответствующие стороны равны:

$$BK=BM.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$BM=BK.$$