Упр.321 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Отрезки AM и СК — медианы треугольника ABC. На продолжении отрезка AM за точку М отложен отрезок MF, а на продолжении отрезка СК за точку К — отрезок KD так, что MF = AM, KD = СК. Докажите, что точки В, D и F лежат на одной прямой.

Рассмотрим треугольники $$BKD$$ и $$AKC$$. Так как точки $$B, K, A$$ лежат на одной прямой, а точки $$D, K, C$$ — на одной прямой, то

$$\angle BKD=\angle AKC$$

как вертикальные. Кроме того, $$KD=KC$$ по условию. Тогда

$$\triangle BKD \cong \triangle AKC$$

по первому признаку равенства треугольников. Отсюда

$$\angle BDK=\angle ACK.$$

Но точки $$D, K, C$$ лежат на одной прямой, значит

$$\angle BDC=\angle ACD.$$

Следовательно, прямые $$BD$$ и $$AC$$ параллельны.

Теперь рассмотрим треугольники $$BMF$$ и $$CMA$$. Так как точки $$B, M, C$$ лежат на одной прямой, а точки $$F, M, A$$ — на одной прямой, то

$$\angle BMF=\angle CMA$$

как вертикальные. Кроме того, $$MF=AM$$ по условию. Тогда

$$\triangle BMF \cong \triangle CMA$$

по первому признаку равенства треугольников. Отсюда

$$\angle BFM=\angle CAM.$$

Но точки $$F, M, A$$ лежат на одной прямой, значит

$$\angle BFA=\angle CAF.$$

Следовательно, прямые $$BF$$ и $$AC$$ параллельны.

Итак, $$BD \parallel AC$$ и $$BF \parallel AC$$. Значит, прямые $$BD$$ и $$BF$$ совпадают, то есть точки $$B, D, F$$ лежат на одной прямой.

Ответ

Точки $$B$$, $$D$$ и $$F$$ лежат на одной прямой.