Упр.320 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Прямая пересекает биссектрису ВМ треугольника ABC в точке О, являющейся серединой отрезка ВМ, а сторону ВС — в точке К. Докажите, что если ОК перпендикулярно ВМ, то МК||АВ.

1) Рассмотрим треугольники $$BKO$$ и $$MKO$$.

У них:

• $$KO$$ — общая сторона;
• $$\angle BOK=\angle MOK=90^\circ$$, так как $$OK\perp BM$$ и точки $$B, O, M$$ лежат на одной прямой;
• $$BO=OM$$ по условию.

Следовательно, $$\triangle BKO \cong \triangle MKO$$ по первому признаку равенства треугольников.

Отсюда $$\angle KBO=\angle KMO$$.

2) Так как $$BM$$ — биссектриса угла $$ABC$$, то $$\angle KBO=\angle ABM$$.

Значит, $$\angle KMO=\angle ABM$$.

Но точки $$B, O, M$$ лежат на одной прямой, поэтому лучи $$MO$$ и $$MB$$ совпадают, и тогда $$\angle KMO=\angle KMB$$.

Следовательно, $$\angle KMB=\angle ABM$$.

Это накрест лежащие углы при прямых $$MK$$ и $$AB$$ и секущей $$BM$$. Значит, $$MK\parallel AB$$.

Что и требовалось доказать.