Упр.310 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

1. На рисунке 218 $$АК$$ — биссектриса угла $$ВАС$$, $$АМ=МК$$. Докажите, что $$МК\parallel АС$$.

1) Рассмотрим треугольник $$AMK$$. По условию $$AM=MK$$, значит, треугольник $$AMK$$ равнобедренный, и его углы при основании равны:

$$\angle MAK=\angle MKA.$$

2) Так как $$AK$$ — биссектриса угла $$BAC$$, то

$$\angle BAK=\angle KAC.$$

Точка $$M$$ лежит на прямой $$AB$$, поэтому луч $$AM$$ совпадает с лучом $$AB$$, следовательно,

$$\angle MAK=\angle BAK.$$

Значит,

$$\angle MAK=\angle KAC.$$

Но $$\angle MAK=\angle MKA$$, поэтому

$$\angle MKA=\angle KAC.$$

Это накрест лежащие углы при прямых $$MK$$ и $$AC$$ и секущей $$AK$$. Следовательно,

$$MK \parallel AC.$$

Ответ

$$MK \parallel AC.$$