Упр.281 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Докажите признак равенства треугольников по медиане и углам, на которые она разбивает угол треугольника.

1) На прямых $$AM$$ и $$A_1M_1$$ отложим отрезки:

$$MD=AM,\qquad M_1D_1=A_1M_1.$$

2) Рассмотрим треугольники $$AMC$$ и $$DMB$$.

Так как $$M$$ — середина $$BC$$, то

$$MC=MB=\frac{1}{2}BC.$$

Углы $$\angle AMC$$ и $$\angle DMB$$ — вертикальные, значит,

$$\angle AMC=\angle DMB.$$

Следовательно,

$$\triangle AMC \cong \triangle DMB$$ — по первому признаку,

откуда

$$AC=BD,\qquad \angle MAC=\angle MDB.$$

3) Аналогично для треугольников $$A_1M_1C_1$$ и $$D_1M_1B_1$$ получаем:

$$A_1C_1=B_1D_1,\qquad \angle M_1A_1C_1=\angle M_1D_1B_1.$$

4) Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$A_1B_1D_1$$.

Так как $$AM=A_1M_1$$ и $$MD=AM,\ M_1D_1=A_1M_1$$, то

$$AD=2AM=2A_1M_1=A_1D_1.$$

Кроме того, по условию

$$\angle BAD=\angle B_1A_1D_1,\qquad \angle BDA=\angle B_1D_1A_1.$$

Значит,

$$\triangle ABD \cong \triangle A_1B_1D_1$$ — по второму признаку,

откуда

$$AB=A_1B_1,\qquad BD=B_1D_1.$$

5) Теперь для треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ имеем:

$$AB=A_1B_1,\qquad AC=A_1C_1,$$

а также

$$\angle BAC=\angle B_1A_1C_1.$$

Следовательно,

$$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ — по первому признаку.

Ответ

$$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1.$$