Упр.280 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Сформулируйте и докажите признак равенства треугольников по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и углу между медианой и этой стороной.

Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$A_1B_1M_1$$. По условию $$AM=A_1M_1$$, $$BC=B_1C_1$$, а так как $$M$$ и $$M_1$$ — середины сторон $$BC$$ и $$B_1C_1$$, то

$$BM=\frac{BC}{2}, \qquad B_1M_1=\frac{B_1C_1}{2}.$$

Из равенства $$BC=B_1C_1$$ получаем $$BM=B_1M_1$$. Кроме того, по условию $$\angle AMB=\angle A_1M_1B_1$$.

Следовательно, в треугольниках $$ABM$$ и $$A_1B_1M_1$$ равны две стороны и угол между ними, значит

$$\triangle ABM \cong \triangle A_1B_1M_1$$

по первому признаку равенства треугольников. Отсюда

$$AB=A_1B_1.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$. У них

$$AC=2AM,\qquad A_1C_1=2A_1M_1,$$

а так как $$AM=A_1M_1$$, то $$AC=A_1C_1$$. Также $$BC=B_1C_1$$ и $$AB=A_1B_1$$.

Значит, в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ попарно равны все три стороны, поэтому

$$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

Если сторона, медиана, проведённая к этой стороне, и угол между ними одного треугольника соответственно равны стороне, медиане, проведённой к ней, и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.