Упр.279 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Сформулируйте и докажите признак равенства равнобедренных треугольников по боковой стороне и медиане, проведённой к боковой стороне.

Подробный ответ

Пусть $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$ — равнобедренные, причём $$AB=A_1B_1$$ и $$AM=A_1M_1$$, где $$AM$$ и $$A_1M_1$$ — медианы, проведённые к боковым сторонам $$BC$$ и $$B_1C_1$$ соответственно.

Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$A_1B_1M_1$$. В равнобедренных треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ боковые стороны равны, значит $$AB= A_1B_1$$. По условию $$AM=A_1M_1$$. Кроме того, так как $$M$$ и $$M_1$$ — середины сторон $$BC$$ и $$B_1C_1$$, то $$BM=\frac{1}{2}BC$$ и $$B_1M_1=\frac{1}{2}B_1C_1$$.

Но в равнобедренных треугольниках медиана, проведённая к боковой стороне, делит её пополам, поэтому $$BM=CM$$ и $$B_1M_1=C_1M_1$$. Следовательно, в треугольниках $$ABM$$ и $$A_1B_1M_1$$ равны три стороны:

$$AB=A_1B_1,$$
$$AM=A_1M_1,$$
$$BM=B_1M_1.$$

Значит, $$\triangle ABM \cong \triangle A_1B_1M_1$$ по третьему признаку равенства треугольников. Тогда равны соответствующие углы:

$$\angle ABM=\angle A_1B_1M_1.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$. У них равны боковые стороны $$AB=A_1B_1$$ и углы при этих сторонах равны, то есть

$$\angle ABC=\angle A_1B_1C_1.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по второму признаку равенства треугольников.

Итак, если у двух равнобедренных треугольников равны боковая сторона и медиана, проведённая к ней, то такие треугольники равны.