Упр.275 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Докажите, используя метод от противного, что если ни одна из высот треутольника не совпадает с биссектрисой, проведённой из этой же вершины, то треугольник не является равнобедренным.

Подробный ответ

Докажем утверждение методом от противного.

Пусть в треугольнике $$ABC$$ ни одна из высот не совпадает с биссектрисой, проведённой из той же вершины, но треугольник $$ABC$$ равнобедренный. Тогда, например, $$AB=BC$$.

Проведём в треугольнике $$ABC$$ высоту $$BE$$ и биссектрису $$BD$$.

Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$CBD$$. У них:

$$BD$$ — общая сторона;
$$\angle ABD=\angle CBD$$, так как $$BD$$ — биссектриса угла $$B$$;
$$AB=BC$$ по предположению.

Следовательно, $$\triangle ABD \cong \triangle CBD$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда

$$\angle BAD=\angle BCD.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABE$$ и $$CBE$$. Так как $$BE$$ — высота, то

$$\angle AEB=\angle CEB=90^\circ.$$

Кроме того, из равенства углов при основании равнобедренного треугольника получаем

$$\angle BAE=\angle BCE.$$

Значит, прямоугольные треугольники $$ABE$$ и $$CBE$$ равны, откуда

$$\angle ABE=\angle EBC.$$

Следовательно, $$BE$$ — биссектриса угла $$B$$. Но по условию ни одна высота не совпадает с биссектрисой, проведённой из той же вершины. Получили противоречие.

Значит, предположение о равнобедренности треугольника неверно, то есть треугольник $$ABC$$ не является равнобедренным.