Упр.265 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Докажите равенство двух треугольников по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.

1) На прямых $$BD$$ и $$B_1D_1$$ отложим отрезки:

$$DE=BD,\qquad D_1E_1=B_1D_1.$$

2) Рассмотрим треугольники $$ADB$$ и $$CDE$$.

Так как $$AD$$ — медиана треугольника $$ABC$$, то $$AD=DC$$.

Углы $$\angle ADB$$ и $$\angle CDE$$ — вертикальные, значит, они равны.

Кроме того, $$BD=DE$$ по построению.

Следовательно, $$\triangle ADB \cong \triangle CDE$$ по первому признаку равенства треугольников.

Отсюда $$CE=AB$$.

3) Аналогично для треугольников $$A_1D_1B_1$$ и $$C_1D_1E_1$$ получаем:

$$C_1E_1=A_1B_1.$$

4) Рассмотрим треугольники $$BEC$$ и $$B_1E_1C_1$$.

Из предыдущего пункта и условия имеем:

$$CE=AB=A_1B_1=C_1E_1.$$

Так как $$E$$ лежит на прямой $$BD$$, а $$D$$ — середина $$AC$$, то $$BE=2BD$$. Аналогично $$B_1E_1=2B_1D_1$$. Поскольку $$BD=B_1D_1$$, получаем

$$BE=B_1E_1.$$

Следовательно, $$\triangle BEC \cong \triangle B_1E_1C_1$$ по третьему признаку, откуда $$CD=C_1D_1$$.

5) Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$.

Имеем:

$$AB=A_1B_1,$$

$$BC=B_1C_1,$$

$$AC=2CD=2C_1D_1=A_1C_1.$$

Значит, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по третьему признаку равенства треугольников.

Ответ

$$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1.$$