Упр.263 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Коля утверждает, что ему удалось сделать рисунок, на котором АВ = АС и AM = AN (рис. 188). Прав ли Коля?

Подробный ответ

Предположим, что Коля прав, то есть $$AB=AC$$ и $$AM=AN$$.

Проведём $$AD \perp BN$$. Тогда $$AD$$ является высотой в треугольниках $$ABC$$ и $$AMN$$.

Так как $$AB=AC$$, то треугольник $$ABC$$ равнобедренный, а в равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой. Значит, $$BD=DC$$.

Так как $$AM=AN$$, то треугольник $$AMN$$ равнобедренный, поэтому $$AD$$ — его медиана. Следовательно, $$MD=DN$$.

Но из рисунка видно, что точка $$M$$ расположена между $$B$$ и $$D$$, а точка $$C$$ — между $$D$$ и $$N$$. Поэтому $$MD<BD$$ и $$DC<DN$$. Тогда из равенств $$BD=DC$$ и $$MD=DN$$ получаем противоречие.

Значит, предположение неверно: одновременно $$AB=AC$$ и $$AM=AN$$ на таком рисунке быть не может.