Упр.262 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Отрезки BD и BXDX — биссектрисы треугольников ABC и А1В1С1 соответственно, АВ = A1B1 BD = B1D1 AD = A1D1 Докажите, что треугольник АВС = треугольнику А1В1С1

Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$A_1B_1D_1$$. По условию

$$AB=A_1B_1,\quad BD=B_1D_1,\quad AD=A_1D_1.$$

Следовательно, $$\triangle ABD=\triangle A_1B_1D_1$$ по третьему признаку равенства треугольников.

Тогда соответствующие углы равны:

$$\angle ABD=\angle A_1B_1D_1,\quad \angle BAD=\angle B_1A_1D_1.$$

Так как $$BD$$ — биссектриса угла $$ABC$$, а $$B_1D_1$$ — биссектриса угла $$A_1B_1C_1$$, то

$$\angle ABC=2\angle ABD,\quad \angle A_1B_1C_1=2\angle A_1B_1D_1.$$

Из равенства углов $$\angle ABD=\angle A_1B_1D_1$$ получаем:

$$\angle ABC=\angle A_1B_1C_1.$$

Кроме того, точки $$A,D,C$$ лежат на одной прямой, а точки $$A_1,D_1,C_1$$ — на одной прямой, значит

$$\angle BAC=\angle BAD,\quad \angle B_1A_1C_1=\angle B_1A_1D_1.$$

Из равенства $$\angle BAD=\angle B_1A_1D_1$$ следует:

$$\angle BAC=\angle B_1A_1C_1.$$

Теперь в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ имеем:

$$AB=A_1B_1,$$

$$\angle ABC=\angle A_1B_1C_1,$$

$$\angle BAC=\angle B_1A_1C_1.$$

Следовательно, $$\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$$ по второму признаку равенства треугольников.

Ответ

$$\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1.$$