Упр.260 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: На рисунке 187 АВ = CD, ВС = AD, ВМ — биссектриса угла ABC, DK — биссектриса угла ADC. Докажите, что треугольник ABM = треугольнику CDK.

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ADC$$. У них:

$$AB=CD,$$
$$BC=AD,$$
$$AC$$ — общая сторона.

Следовательно, $$\triangle ABC=\triangle ADC$$ по третьему признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников получаем равенство соответствующих углов:

$$\angle ABC=\angle ADC.$$

Так как $$BM$$ и $$DK$$ — биссектрисы этих углов, то

$$\angle ABM=\frac{1}{2}\angle ABC,$$
$$\angle CDK=\frac{1}{2}\angle ADC.$$

Поскольку $$\angle ABC=\angle ADC,$$ то

$$\angle ABM=\angle CDK.$$

Кроме того, из равенства треугольников $$ABC$$ и $$ADC$$ следует равенство соответствующих биссектрис:

$$BM=DK.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$CDK$$. У них:

$$AB=CD,$$
$$BM=DK,$$
$$\angle ABM=\angle CDK.$$

Следовательно, $$\triangle ABM=\triangle CDK$$ по первому признаку равенства треугольников.

Ответ

$$\triangle ABM=\triangle CDK.$$