Упр.258 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Каждая из точек М и N равноудалена от концов отрезка АВ. Докажите, что прямая MN — серединный перпендикуляр отрезка АВ.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$AMN$$ и $$BMN$$. У них:

$$AM=MB$$ — по условию;
$$AN=NB$$ — по условию;
$$MN$$ — общая сторона.

Следовательно, $$\triangle AMN \cong \triangle BMN$$ по третьему признаку равенства треугольников. Тогда

$$\angle AMN=\angle BMN.$$

Значит, прямая $$MN$$ делит угол между равными сторонами треугольника $$AMB$$ пополам. Кроме того, в треугольнике $$AMB$$ имеем $$AM=MB$$, значит, он равнобедренный. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой. Поэтому $$MN$$ перпендикулярна $$AB$$ и проходит через её середину.

Итак, $$MN$$ — серединный перпендикуляр отрезка $$AB$$.