Упр.248 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 248. В треугольнике АВС АВ = 3 см, АС = 6 см. На стороне ВС отметили точку М такую, что СМ = 1 см. Прямая, проходящая через точку М перпендикулярно биссектрисе угла АСВ, пересекает отрезок АС в точке К, а прямая, проходящая через точку К перпендикулярно биссектрисе угла ВАС, пересекает прямую АВ в точке D. Найдите отрезок BD.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$MCK$$. Так как прямая, проходящая через точку $$M$$, перпендикулярна биссектрисе угла $$ACB$$, то эта биссектриса является осью симметрии для точек $$M$$ и $$K$$. Значит, треугольник $$MCK$$ равнобедренный, и

$$CK=CM=1.$$

Тогда

$$AK=AC-CK=6-1=5.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$KAD$$. Прямая, проходящая через точку $$K$$, перпендикулярна биссектрисе угла $$BAC$$, значит, эта биссектриса является осью симметрии для точек $$K$$ и $$D$$. Следовательно, треугольник $$KAD$$ равнобедренный, и

$$AD=AK=5.$$

Так как точки $$A$$, $$B$$, $$D$$ лежат на одной прямой, то

$$AD=AB+BD.$$

Подставим известные значения:

$$5=3+BD.$$

Отсюда

$$BD=2.$$