Упр.248 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

В треугольнике $$ABC$$ $$AB=3\ \text{см}$$, $$AC=6\ \text{см}$$. На стороне $$BC$$ отметили точку $$M$$ такую, что $$CM=1\ \text{см}$$. Прямая, проходящая через точку $$M$$ перпендикулярно биссектрисе угла $$ACB$$, пересекает отрезок $$AC$$ в точке $$K$$, а прямая, проходящая через точку $$K$$ перпендикулярно биссектрисе угла $$BAC$$, пересекает прямую $$AB$$ в точке $$D$$. Найдите отрезок $$BD$$.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$MCK$$. Так как прямая, проходящая через точку $$M$$, перпендикулярна биссектрисе угла $$ACB$$, то эта биссектриса является осью симметрии для точек $$M$$ и $$K$$. Значит, треугольник $$MCK$$ равнобедренный, и

$$CK=CM=1.$$

Тогда

$$AK=AC-CK=6-1=5.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$KAD$$. Прямая, проходящая через точку $$K$$, перпендикулярна биссектрисе угла $$BAC$$, значит, эта биссектриса является осью симметрии для точек $$K$$ и $$D$$. Следовательно, треугольник $$KAD$$ равнобедренный, и

$$AD=AK=5.$$

Так как точки $$A$$, $$B$$, $$D$$ лежат на одной прямой, то

$$AD=AB+BD.$$

Подставим известные значения:

$$5=3+BD.$$

Отсюда

$$BD=2.$$