Упр.247 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 247. Длины сторон треугольника, выраженные в сантиметрах, равны трём последовательным натуральным числам. Найдите стороны этого треугольника, если одна из его медиан перпендикулярна одной из его биссектрис.

Подробный ответ

Обозначим стороны треугольника через $$AB$$, $$BC$$, $$AC$$. По условию они — три последовательных натуральных числа.

Пусть $$BD$$ — биссектриса угла $$B$$, а $$CE$$ — медиана. Так как $$BD \perp CE$$, рассмотрим точку их пересечения $$O$$.

Поскольку $$CE$$ — медиана, точка $$E$$ является серединой стороны $$AB$$, значит

$$AE=BE.$$

Так как $$BD$$ — биссектриса угла $$B$$, а $$O \in BD$$, то в треугольнике $$EBC$$ отрезок $$BO$$ одновременно является биссектрисой и высотой. Следовательно, треугольник $$EBC$$ равнобедренный, и

$$BC=BE.$$

Тогда

$$AB=AE+BE=BE+BE=2BE=2BC.$$

Значит, $$AB$$ вдвое больше $$BC$$. Так как стороны треугольника — последовательные натуральные числа, возможны только два случая:

1) $$BC=1,\ AB=2,\ AC=3$$;

2) $$BC=2,\ AB=4,\ AC=3$$.

Во втором случае стороны можно упорядочить как $$2,\ 3,\ 4$$, что и даёт три последовательных натуральных числа.

Следовательно, стороны треугольника равны $$2$$ см, $$3$$ см и $$4$$ см.