Упр.246 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

В треугольнике $$ABC$$ угол $$C=90^\circ$$, угол $$A=67{,}5^\circ$$, угол $$B=22{,}5^\circ$$, $$\text{СК}$$ — биссектриса треугольника $$ABC$$, $$\text{СМ}$$ — биссектриса треугольника $$\text{ВСК}$$ (рис. 175). Докажите, что точка $$M$$ — середина отрезка $$AB$$.

Подробный ответ

1) Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$\angle C=90^\circ$$ и $$CK$$ — биссектриса угла $$ACB$$, то

$$\angle ACK=\angle KCB=\frac{1}{2}\angle ACB=45^\circ.$$

2) Рассмотрим треугольник $$CMB$$. Поскольку $$CM$$ — биссектриса угла $$KCB$$, получаем

$$\angle KCM=\angle MCB=\frac{1}{2}\angle KCB=22{,}5^\circ.$$

Следовательно, $$\angle MCB=\angle MBC$$, значит, треугольник $$CMB$$ равнобедренный. Тогда

$$CM=BM.$$

3) Рассмотрим треугольник $$AMC$$. Имеем

$$\angle ACM=\angle ACK+\angle KCM=45^\circ+22{,}5^\circ=67{,}5^\circ.$$

По условию $$\angle A=67{,}5^\circ$$, значит

$$\angle ACM=\angle CAM.$$

Следовательно, треугольник $$AMC$$ равнобедренный, поэтому