Упр.245 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

1. Прямая, проходящая через вершину $$A$$ треугольника $$ABC$$ перпендикулярно его медиане $$BD$$, делит эту медиану пополам. Найдите отношение длин сторон $$AB$$ и $$AC$$ треугольника $$ABC$$.

Рассмотрим треугольник $$BAD$$. По условию прямая $$AM$$ проходит через вершину $$A$$ и перпендикулярна медиане $$BD$$, а точка $$O$$ — середина $$BD$$, то есть $$BO=OD$$. Значит, $$AO$$ — медиана к стороне $$BD$$ и одновременно высота.

Следовательно, треугольник $$BAD$$ равнобедренный, поэтому

$$AB=AD.$$

Так как $$BD$$ — медиана треугольника $$ABC$$, то точка $$D$$ — середина стороны $$AC$$, значит

$$AD=DC.$$

Тогда

$$AC=AD+DC=AD+AD=2AD.$$

С учётом $$AB=AD$$ получаем

$$AC=2AB.$$

Значит,

$$AB:AC=1:2.$$

Ответ

$$AB:AC=1:2$$