Упр.245 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 245. Прямая, проходящая через вершину А треугольника АВС перпендикулярно его медиане BD, делит эту медиану пополам. Найдите отношение длин сторон АВ и АС треугольника АВС.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$BAD$$. По условию прямая $$AM$$ проходит через вершину $$A$$ и перпендикулярна медиане $$BD$$, а точка $$O$$ — середина $$BD$$, то есть $$BO=OD$$. Значит, $$AO$$ — медиана к стороне $$BD$$ и одновременно высота.

Следовательно, треугольник $$BAD$$ равнобедренный, поэтому

$$AB=AD.$$

Так как $$BD$$ — медиана треугольника $$ABC$$, то точка $$D$$ — середина стороны $$AC$$, значит

$$AD=DC.$$

Тогда

$$AC=AD+DC=AD+AD=2AD.$$

С учётом $$AB=AD$$ получаем

$$AC=2AB.$$

Значит,

$$AB:AC=1:2.$$