Упр.243 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 243. Через середину D стороны АВ треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные биссектрисам углов АВС и ВАС. Эти прямые пересекают стороны АС и ВС в точках М и К соответственно. Докажите, что АМ = ВК.

Рассмотрим треугольник $$DBK$$. Так как $$D$$ — середина стороны $$AB$$, то $$AD=BD$$. Кроме того, прямая $$DK$$ перпендикулярна биссектрисе $$BB’$$ угла $$B$$, значит $$BB’$$ является и высотой к стороне $$AC$$. Следовательно, точка $$K$$ лежит на прямой, симметричной относительно биссектрисы, и треугольник $$DBK$$ равнобедренный. Поэтому

$$BK=BD.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$MAD$$. Прямая $$DM$$ перпендикулярна биссектрисе $$AA’$$ угла $$A$$, значит $$AA’$$ также является высотой. Тогда треугольник $$MAD$$ равнобедренный, и

$$AM=AD.$$

Так как $$AD=BD$$, а из первого пункта $$BD=BK$$, получаем

$$AM=AD=BD=BK.$$

Следовательно, $$AM=BK$$, что и требовалось доказать.

Ответ

$$AM=BK$$.