Упр.242 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

На сторонах $$AB$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$ отметили соответственно точки $$D$$ и $$E$$ так, что $$\angle EAC = \angle DCA$$. Отрезки $$AE$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$F$$, $$DF = EF$$. Докажите, что треугольник $$ABC$$ равнобедренный.

1) Рассмотрим треугольник $$AFC$$. Так как точки $$A, F, E$$ лежат на одной прямой, а точки $$C, F, D$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle FAC=\angle EAC,\qquad \angle FCA=\angle DCA.$$

По условию $$\angle EAC=\angle DCA$$, значит

$$\angle FAC=\angle FCA.$$

Следовательно, треугольник $$AFC$$ равнобедренный, поэтому

$$AF=FC.$$

2) Рассмотрим треугольники $$ADC$$ и $$CEA$$. Имеем:

$$AE=AF+FE,$$

$$CD=CF+FD.$$

Так как $$DF=EF$$ и $$AF=FC$$, то

$$AE=AF+FE=CF+FD=CD.$$

Кроме того, $$AC$$ — общая сторона, а

$$\angle DAC=\angle ECA$$

по условию. Значит,

$$\triangle ADC \cong \triangle CEA$$

по первому признаку равенства треугольников.

Отсюда получаем

$$\angle DCA=\angle EAC.$$

3) Теперь рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$D\in AB$$ и $$E\in BC$$, то

$$\angle DCA=\angle BCA,\qquad \angle EAC=\angle BAC.$$

Следовательно,

$$\angle BAC=\angle BCA.$$

Значит, треугольник $$ABC$$ равнобедренный, то есть

$$AB=BC.$$

Ответ

$$AB=BC,$$ значит, $$\triangle ABC$$ равнобедренный.