Упр.241 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Точки $$M$$ и $$K$$ принадлежат соответственно боковым сторонам $$AB$$ и $$BC$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$, $$AM = CK$$. Отрезки $$AK$$ и $$CM$$ пересекаются в точке $$O$$. Докажите, что треугольник $$AOC$$ равнобедренный.

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то $$AB=BC$$ и $$\angle BAC=\angle BCA$$.

Рассмотрим треугольники $$AMC$$ и $$CKA$$. Имеем:

$$AM=CK$$ — по условию,

$$AC$$ — общая сторона,

$$\angle MAC=\angle KCA$$, так как $$\angle BAC=\angle BCA$$ и точки $$M$$ и $$K$$ лежат соответственно на сторонах $$AB$$ и $$BC$$.

Следовательно, $$\triangle AMC \cong \triangle CKA$$ по первому признаку равенства треугольников.

Отсюда получаем равенство соответствующих углов:

$$\angle ACM=\angle CAK.$$

Точка $$O$$ лежит на отрезках $$AK$$ и $$CM$$, значит лучи $$AO$$ и $$AK$$ совпадают, а лучи $$CO$$ и $$CM$$ совпадают. Поэтому

$$\angle OAC=\angle KAC,$$

$$\angle ACO=\angle ACM.$$

Из равенства $$\angle ACM=\angle CAK$$ следует, что

$$\angle ACO=\angle OAC.$$

Следовательно, в треугольнике $$AOC$$ равны углы при основании, значит он равнобедренный:

$$AO=CO.$$

Ответ

$$\triangle AOC$$ равнобедренный, так как $$AO=CO$$.