Упр.240 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 240. Медианы АЕ и CF, проведённые к боковым сторонам ВС и АВ равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Докажите, что треугольник АМС равнобедренный.

Подробный ответ

1) Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то $$AB=BC$$ и $$\angle BAC=\angle BCA$$.

2) Рассмотрим треугольники $$AFC$$ и $$CEA$$.

Поскольку $$AE$$ и $$CF$$ — медианы, то $$F$$ — середина $$AB$$, а $$E$$ — середина $$BC$$. Значит,

$$AF=\frac{1}{2}AB,\qquad CE=\frac{1}{2}BC.$$

Из равенства $$AB=BC$$ получаем $$AF=CE$$.

Кроме того, $$\angle FAC=\angle ECA$$, так как $$\angle BAC=\angle BCA$$, а точки $$F$$ и $$E$$ лежат соответственно на сторонах $$AB$$ и $$BC$$.

Сторона $$AC$$ — общая.

Следовательно, $$\triangle AFC \cong \triangle CEA$$ по первому признаку равенства треугольников.

Отсюда $$\angle ACF=\angle CAE$$.

3) Теперь рассмотрим треугольник $$AMC$$. Так как точки $$M$$ лежит на медианах $$AE$$ и $$CF$$, то лучи $$AM$$ и $$AE$$ совпадают, а лучи $$CM$$ и $$CF$$ совпадают. Поэтому

$$\angle ACM=\angle ACF,\qquad \angle MAC=\angle CAE.$$

Из равенства $$\angle ACF=\angle CAE$$ получаем

$$\angle ACM=\angle MAC.$$

Значит, в треугольнике $$AMC$$ равны углы при основании $$AC$$, следовательно, $$\triangle AMC$$ равнобедренный.