Упр.238 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

В треугольнике $$ABC$$ биссектриса $$BK$$ является его высотой. Найдите периметр треугольника $$ABC$$, если периметр треугольника $$ABK$$ равен $$16\ \text{см}$$ и $$BK=5\ \text{см}$$.

Так как $$BK$$ — биссектриса и высота треугольника $$ABC$$, то треугольник $$ABC$$ равнобедренный, значит

$$AB=BC.$$

Кроме того, высота из вершины равнобедренного треугольника является медианой, поэтому

$$AK=KC.$$

Рассмотрим треугольник $$ABK$$. Его периметр равен

$$P_{ABK}=AB+BK+AK=16.$$

Подставим $$BK=5$$:

$$AB+5+AK=16,$$

откуда

$$AB+AK=11.$$

Теперь найдём периметр треугольника $$ABC$$:

$$P_{ABC}=AB+BC+AC.$$

Так как $$BC=AB$$, а $$AC=AK+KC=2AK$$, то

$$P_{ABC}=AB+AB+AK+KC.$$

Поскольку $$AK=KC$$, получаем

$$P_{ABC}=2(AB+AK).$$

Тогда

$$P_{ABC}=2\cdot 11=22.$$

Ответ

$$22\text{ см}$$