Упр.228 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 228. Основание равнобедренного треугольника равно 20 см, а его медиана разбивает данный треугольник на два треугольника так, что периметр одного из них на 6 см меньше периметра другого. Найдите боковую сторону данного треугольника. Сколько решений имеет задача?

Подробный ответ

Обозначим боковую сторону равнобедренного треугольника $$AB=BC=x$$, основание $$AC=20$$ см. Так как $$AM$$ — медиана, то $$M$$ — середина стороны $$BC$$, значит

$$BM=MC=\frac{x}{2}.$$

Рассмотрим два треугольника: $$\triangle ABM$$ и $$\triangle AMC$$.

Их периметры равны:

$$P_{ABM}=AB+BM+AM=x+\frac{x}{2}+AM,$$

$$P_{AMC}=AM+MC+AC=AM+\frac{x}{2}+20.$$

По условию периметр одного из них на $$6$$ см меньше периметра другого. Возможны два случая.

1) $$P_{ABM}=P_{AMC}+6$$

Тогда

$$x+\frac{x}{2}+AM=AM+\frac{x}{2}+20+6,$$

откуда

$$x=26.$$

2) $$P_{AMC}=P_{ABM}+6$$