Упр.227 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 227. На продолжениях сторон АВ, ВС, АС равностороннего треугольника АВС (рис. 165) за точки A, В и С соответственно отложили равные отрезки AD, ВК и СЕ. Докажите, что треугольник DEK равносторонний.

1) Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то

$$AB=BC=AC,\qquad \angle A=\angle B=\angle C.$$

2) Рассмотрим треугольники $$DBK$$ и $$KCE$$.

По условию $$AD=BK=CE$$, значит

$$DB=DA+AB=BK+BC=KC.$$

Кроме того,

$$\angle KBD=180^\circ-\angle B=180^\circ-\angle C=\angle ECK.$$

Следовательно, $$\triangle DBK \cong \triangle KCE$$ по первому признаку равенства треугольников, откуда

$$KD=KE.$$

3) Рассмотрим треугольники $$DBK$$ и $$EAD$$.

Имеем

$$DB=DA+AB=CE+AC=EA.$$

Также

$$\angle KBD=180^\circ-\angle B=180^\circ-\angle A=\angle DAE.$$

Значит, $$\triangle DBK \cong \triangle EAD$$ по первому признаку, поэтому

$$KD=ED.$$

4) Получаем

$$KD=KE=DE.$$

Следовательно, треугольник $$DKE$$ равносторонний.

Ответ

$$\triangle DEK$$ равносторонний.