Упр.226 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 226. На сторонах равностороннего треугольника АВС (рис. 164) отметили точки М, К и D так, что AD = ВМ = СК. Докажите, что треугольник MKD равносторонний.

1) Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то $$AB=BC=AC$$ и $$\angle A=\angle B=\angle C$$.

2) Рассмотрим треугольники $$ADM$$ и $$BMK$$.

Так как $$AD=BM$$ по условию, а

$$AM=AB-BM=BC-CK=BK,$$

то $$AM=BK$$.

Кроме того, $$\angle MAD=\angle KBM$$, так как это углы между соответственно равными сторонами равностороннего треугольника.

Следовательно, $$\triangle ADM \cong \triangle BMK$$ по двум сторонам и углу между ними. Значит, $$MD=MK$$.

3) Теперь рассмотрим треугольники $$ADM$$ и $$CKD$$.

Имеем

$$AM=AB-BM=AC-AD=CD,$$

так как $$AB=AC$$ и $$BM=AD$$.

Также $$\angle MAD=\angle DCK$$.

Следовательно, $$\triangle ADM \cong \triangle CKD$$ по двум сторонам и углу между ними. Значит, $$MD=KD$$.

4) Получаем:

$$MD=MK=KD.$$

Следовательно, $$\triangle MKD$$ равносторонний.

Ответ

$$\triangle MKD$$ — равносторонний.