Упр.222 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 222. Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами равнобедренного треугольника.

Пусть в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ точки $$F$$, $$E$$ и $$D$$ — середины сторон $$AB$$, $$BC$$ и $$AC$$ соответственно.

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то $$AB=BC$$ и $$\angle BAC=\angle BCA$$.

Рассмотрим треугольники $$AFD$$ и $$CED$$.

Поскольку $$F$$ и $$E$$ — середины сторон, имеем

$$AF=\frac12 AB,\qquad CE=\frac12 BC.$$

Из равенства $$AB=BC$$ следует, что

$$AF=CE.$$

Так как $$D$$ — середина стороны $$AC$$, то

$$AD=CD.$$

Кроме того, лучи $$AF$$ и $$AB$$ совпадают, а лучи $$CD$$ и $$CA$$ совпадают, поэтому

$$\angle FAD=\angle BAC,\qquad \angle ECD=\angle BCA.$$

Следовательно,

$$\angle FAD=\angle ECD.$$

Итак, в треугольниках $$AFD$$ и $$CED$$:

$$AF=CE,\qquad AD=CD,\qquad \angle FAD=\angle ECD.$$

Значит, $$\triangle AFD \cong \triangle CED$$ по первому признаку равенства треугольников. Тогда

$$FD=ED.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$FDE$$. У него две стороны равны:

$$FD=ED.$$

Следовательно, $$\triangle FDE$$ равнобедренный.

Ответ

Середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами равнобедренного треугольника.