Упр.221 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 221. Докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то $$AB=BC$$ и, следовательно, $$\angle BAC=\angle BCA$$.

Пусть $$AE$$ и $$CF$$ — медианы, проведённые к боковым сторонам $$BC$$ и $$AB$$ соответственно. Тогда точки $$E$$ и $$F$$ — середины этих сторон, значит

$$CE=\frac{1}{2}BC,\qquad AF=\frac{1}{2}AB.$$

Но $$AB=BC$$, поэтому

$$AF=CE.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle AEC$$ и $$\triangle CFA$$.

В них:

• $$AF=CE$$;
• $$AC$$ — общая сторона;
• $$\angle FAC=\angle ECA$$, так как $$\angle BAC=\angle BCA$$.

Следовательно, $$\triangle AEC \cong \triangle CFA$$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Отсюда получаем:

$$AE=CF.$$

Что и требовалось доказать.