Упр.219 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 219. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС на медиане BD отметили произвольную точку М. Докажите, что: 1) треугольник АМВ = треугольнику СМВ; 2)треугольник AMD = треугольнику CMD.

1) В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ имеем $$AB=BC$$. Медиана $$BD$$, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также биссектрисой, значит

$$\angle ABD=\angle DBC.$$

Точка $$M$$ лежит на прямой $$BD$$, поэтому лучи $$BM$$ и $$BD$$ совпадают. Следовательно,

$$\angle ABM=\angle MBC.$$

Кроме того, $$BM$$ — общая сторона треугольников $$AMB$$ и $$CMB$$, а $$AB=BC$$. Тогда

$$\triangle AMB \cong \triangle CMB$$

по первому признаку равенства треугольников.

2) Так как $$BD$$ — медиана равнобедренного треугольника $$ABC$$, то она делит основание пополам:

$$AD=DC.$$

Кроме того, в равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, значит

$$BD\perp AC.$$

Тогда

$$\angle ADM=\angle CDM=90^\circ.$$

Рассмотрим треугольники $$AMD$$ и $$CMD$$. У них

$$AD=DC,$$

$$MD$$ — общая сторона,

$$\angle ADM=\angle CDM.$$

Следовательно,

$$\triangle AMD \cong \triangle CMD$$

по первому признаку равенства треугольников.

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\triangle AMB \cong \triangle CMB,$$ $$\triangle AMD \cong \triangle CMD.$$